प्राचीन भारतीय गणितातील गमती

– प्रशांत पोळ : १९७० ला प्रदर्शित झालेल्या ‘पूरब और पश्चिम’ या चित्रपटात मनोज कुमारच्या तोंडी एक गाणं आहे –

जब झिरो दिया मेरे भारत ने, भारत ने मेरे भारत ने, दुनिया को तब गिनती आई….

‘शून्याची संकल्पना सर्वप्रथम भारतात तयार झाली आणि त्यावरून केलेली गणना ही भारताने जगाला सर्वात आधी सांगितली’, हे गाण्याच्या माध्यमातून मनोज कुमारने सर्वसामान्य भारतीयांपर्यंत पोहोचवलं होतं.

गणितीय संकल्पना आपल्या भारतात फार प्राचीन काळापासून रुजलेल्या आहेत. किंबहुना आपल्या पूर्वजांचा गणिताचा पाया अगदी मजबूत आणि पक्का होता. म्हणूनच ते खगोलशास्त्र, वास्तुकला, नौकानयन, यंत्रकला इत्यादी क्षेत्रात अफाट काम करू शकले.

यजुर्वेद संहितेत १०^१२ पर्यंतच्या आकड्यांची नावे दिलेली आहेत सामवेदातील ताण्ड्य ब्राह्मणाला ‘पंचवीस ब्राह्मण’ असेही नाव आहे, कारण यात २५ अध्याय आहेत. या ‘पंचवीस ब्राह्मण’ ग्रंथात, दशमान पद्धतीतील चढत्या भाजणीत आकड्यांची नावं दिलेली आहेत. उदाहरणार्थ – एकम्, दश (१०^१), शत (१०^२), सहस्त्र (१०^३),आयुक्त (१०^४ ), नियुता (१०^५ ), प्रयुता (१०^६), अरबुडा (१०^७ ), न्यारबुडा (१०^८ ), समुद्र (१०^९ ), मध्य (१०^१०), अंत (१०^११), परार्ध (१०^१२ )…

इथं हे बघणं महत्त्वाचं ठरतं, की या सर्व काळात, आणि नंतरही, ग्रीकांच्या संख्येचा सर्वोच्च आकडा हा मारियाड (Myriad) अर्थात (१०^४) इतकाच होता, तर त्यावेळी सर्वोच्च रोमन आकडा हा मिले (Mille) म्हणजेच एक हजारापर्यंतच (१०^३) होता. पुढे जाऊन, दहाव्या शतकापर्यंत भारतीय गणितज्ञ १०^५३ पर्यंतच्या संख्यांची गणितं करत होते.

भारतीय, ‘शून्य’ या आकड्याचा गणितात उपयोग करत होते, याचे दोन पुरावे सापडले आहेत. एक – कंबोडियात, मेकाँग नदीच्या तीरावर असलेल्या सेंबोर येथील हिंदू मंदिरांच्या समूहात एक शिलालेख मिळालाय. यात ‘शून्य’ चा उल्लेख आहे. त्या शीलाखंडाला, तेथील पुरातत्व विभागानं K-127 असं नाव दिलंय. याचा नेमका कालखंड आहे, सन ६८३.

दुसरा पुरावा सापडला, तो मध्य प्रदेशातल्या ग्वाल्हेर शहरातल्या ‘चतुर्भुज मंदिरात’. ग्वाल्हेरच्या किल्ल्यात असलेलं तसं हे लहानसंच मंदिर आहे. मात्र यात असलेल्या शिलालेखातून, ‘शून्य’ चा स्पष्ट आणि व्यवस्थित उल्लेख आहे. या शिलाखंडाचा कालखंड हा सन् ८७६ आहे.

मात्र या सर्वांना मागे टाकणारं एक संशोधन, काही वर्षांपूर्वी समोर आलं आहे.

‘बोडलिअन लायब्ररी’ हे ऑक्सफर्ड युनिव्हर्सिटी चे मुख्य शोध ग्रंथालय आहे. हे युरोपचे सर्वात प्राचीन ग्रंथालय / पुस्तकालय आहे. सर थॉमस बोडली या इंग्रज राजनेत्याने याची स्थापना केली, म्हणून याला ‘बोडलियन लायब्ररी’ हे नाव दिलंय. या ग्रंथालयात एक कोटी तीस लाखांपेक्षा जास्त मुद्रित साहित्य (पुस्तकं, मासिकं, नियतकालिकं) आहेत.

१४ सप्टेंबर २०१७ ला या ग्रंथालयाने एक मोठी घोषणा केली. या ग्रंथालयात, ‘बख्शाली हस्तलिखितं’ जपून ठेवलेली आहेत. बख्शाली हस्तलिखितं ही प्राचीन भारताच्या गणिताच्या संबंधीचा अमोल ठेवा आहे. सन १८८१ ला ही हस्तलिखितं, उत्तर पश्चिम सीमा प्रांतातील ‘बख्शाली’ या गावात सापडली. म्हणून यांना बख्शाली हस्तलिखितं म्हटलं जातं. बख्शाली हे गाव सध्या पाकिस्तानातील पंजाब प्रांतात असून, तक्षशिला पासून ७० किलोमीटर दूर आहे. अत्यंत जीर्णशील झालेली ही हस्तलिखितं, भूर्जपत्रावर लिहिलेली आहेत आणि याची फक्त ७० पानंच (भूर्जपत्रं) मिळू शकली आहेत.

ही हस्तलिखितं शारदा लिपीत आणि गाथा बोलीत आहेत. ‘गाथा बोली’ हे उत्तर भारतातील संस्कृत आणि प्राकृत भाषेचे सरमिसळ झालेले रूप आहे. अंकगणित, प्रारंभिक भूमिती इत्यादी विषय यात समजावले आहेत. या पुस्तकाच्या अज्ञात लेखकाने प्रारंभीच हे स्पष्ट केले आहे, की व्यापाऱ्यांकडे, हिशोब लिहायला / करायला जे ‘कायस्थ’ असतात (हाच शब्द त्यांनी वापरला आहे), त्यांच्यासाठी, गणिताचे प्रारंभिक ज्ञान देणारे हे पुस्तक आहे. या पुस्तकात अनेक गणितीय चिन्हे ही वापरली आहेत.

या हस्तलिखितांचं इतकं महत्त्व का..?

असं समजलं जातंय की ही हस्तलिखितं म्हणजे संस्कृत मध्ये, फक्त गणिताला वाहिलेली पहिलीच रचना आहे. शिवाय यात ‘शून्य’ हे चिन्ह (आकडा) व्यवस्थित, आज जसे आपण वापरतो तसे, वापरले आहे. आजपर्यंत असा समज होता की वर उल्लेखलेल्या ग्वाल्हेरच्या चतुर्भुज मंदिरात सापडलेल्या शिलालेखात असलेल्या ‘शून्य’ चा स्पष्ट उल्लेख, हा जगात ‘शून्य’ चे सर्वात प्राचीन अस्तित्व दाखवतोय.

पण इंग्लंडच्या बोडलियन ग्रंथालयानं १४ सप्टेंबर २०१७ ला जी घोषणा केली, त्याद्वारे बख्शाली हस्तलिखितांमध्ये असलेला ‘शून्य’ चा स्पष्ट उल्लेख, हा जगातील सर्वात प्राचीन आहे. जपानचे संशोधक डॉक्टर हयाशी टाकाओ यांनी ऑक्सफर्ड विद्यापीठात, या हस्तलिखितांवर आधुनिक पद्धतीने रेडिओ कार्बन डेटिंग वापरून, त्यांचा कालखंड काढला. तो तिसऱ्या शतकातला निघाला. गणिताच्या वैश्विक इतिहासाच्या दृष्टीने हा फार महत्त्वाचा शोध होता. ‘शून्य’ ला दर्शवताना बेबीलोनियन किंवा मायन संस्कृतीत ‘डॉट’ वापरलेला दिसतो. मात्र तिथेही ‘शून्य’ ही संकल्पना आजच्यासारखी नाही, आणि त्या ‘डॉट’ ला आजच्या शून्यासारखे मध्ये भोक ही नाही.

मात्र बख्शाली हस्तलिखितांमध्ये किंवा ग्वालेरच्या चतुर्भुज मंदिरातील शिलालेखांमध्ये, ‘शून्य’ हे, आज सारं जग जसं वापरतं, त्याच पद्धतीनं, त्याच शैलीत आणि त्याच संदर्भात वापरलेलं आहे.

भारतीय आकडे आणि दशमान पद्धत ही तिबेट, चीन, आजचं इंडोनेशिया, जावा-सुमात्रा, जापान इत्यादी देशात सहाव्या – सातव्या शतकातच पोहोचली आणि रूढ झाली. साधारण आठव्या शतकात, भारतीय आकडे आणि गणितीय प्रणाली अरबस्तानात पोहोचली. नवव्या शतकात, अरबी गणितातज्ञ अल्-ख्वारिझ्मी हा, भारतीय आकड्यांचा आणि दशमान पद्धतीचा फार मोठा समर्थक आणि उद्घोषक होता. बाराव्या शतकात इंग्लंड मधील, ‘एडलॉर्ड ऑफ बाथ’ या ब्रिटिश खगोलशास्त्रज्ञ आणि गणितज्ञाने अल्-ख्वारिझ्मी च्या गणितीय ग्रंथांचं लॅटिन भाषेत भाषांतर केलं. आणि अशा प्रकारे भारतीय गणितीय पद्धत, युरोप मध्ये आली आणि येऊन स्थिरावली.

एकूणात काय, तर शून्य आणि दशमान पद्धती ही भारताने जगाला दिलेली ठेव आहे, हे परत एकदा सिद्ध झालंय.

———— ———–

दुर्दैवानं आपण गणितात (आणि गणिताच्या सर्व शाखांमध्ये ही) जगाच्या खूप पुढे होतो, हे आपल्याला कोणी फारसं सांगितलंच नाही. आणि शाळेतही शिकवलं नाही.

आपण शाळेत पायथागोरस थ्योरम शिकलो असू. ‘काटकोन त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या वर्गाची बेरीज ही कर्णाच्या वर्गा इतकी असते’ हा तो प्रमेय. यातला ‘पायथागोरस’ हा ग्रीक गणितज्ञ. याचा कालखंड आहे – ख्रिस्त पूर्व ५७० ते ४९५.

या पायथागोरसच्या काळात आणि त्याच्याही कितीतरी आधी, भारतात ‘यज्ञ संस्कृती’ नांदत होती. वेगवेगळ्या प्रकारचे यज्ञ व्हायचे. या यज्ञांसाठी विविध प्रकारची, शास्त्रशुद्ध पद्धतीने बांधलेली यज्ञकुंड तयार केली जायची. या यज्ञकुंडांच्या रचनेत गणितीय संकल्पनांचा भरपूर वापर व्हायचा. त्यासाठी त्या काळातील विद्वत् जन, अर्थात ऋषी-मुनी, हे ‘शुल्बसूत्र’ लिहायचे. ही शुल्बसूत्रं म्हणजे यज्ञकुंडांच्या भूमितीय रचनेची गणितं असायची. संस्कृत मध्ये ‘शुल्ब’ म्हणजे ‘मोजण्याची दोरी’. अर्थात यज्ञकुंडांचा आकार ठरवण्यासाठी या सूत्रांचा उपयोग केला जायचा.

अपस्तम्ब, मानव, कात्यायन, बोधायन, मैत्रायणीय, वाराह, वधुल, हिरण्यकेशीन इत्यादी ऋषींनी लिहिलेली शुल्बसूत्रं मिळाली आहेत. यातील ‘बोधायन’ ने पहिल्या अध्यायात बारावा श्लोक दिलाय –

दीर्घचतुरश्रस्याक्ष्णया रज्जु: पार्श्वमानी तिर्यकमानी च I

यत्पृथरभूते कुरुतस्त दुभयं करोती II

याचा अर्थ काढला तर a2 + b2 = c2 हा प्रमेय सिद्ध होतो.

गंमत म्हणजे बोधायन ऋषींचा कालखंड हा ख्रिस्त पूर्व ८०० वर्षांपासून ते ख्रिस्त पूर्व १२०० वर्षे असावा असं मानलं जातं.

मग हा प्रमेय नेमका कोणाचा..? पायथागोरसचा की बोधायन चा?

जर ‘बोधायन प्रमेय’ हा पायथागोरसच्या किमान तीनशे – चारशे वर्ष आधी लिहिला गेलाय, हे जगानं मान्य केलंय, मग अजूनही आम्ही त्याला ‘पायथागोरस प्रमेय’ असंच का म्हणतो..? बोधायन प्रमेय का नाही…? G. Milhand या गणितज्ञाच्या मताप्रमाणे, ‘पायथागोरस प्रमेयावर भारतीय गणिताचा पूर्ण प्रभाव आहे.’

फक्त हाच प्रमेय नाही, तर भूमितीचे आणि त्रिकोणामितीचे अनेक प्रमेय या शुल्बसूत्रात दडलेले आहेत.

———— ————

साधारण सोळाव्या – सतराव्या शतकात, युरोपच्या विद्वानांना गणिताच्या ज्या गोष्टी कळल्या त्या भारतीय गणितज्ञांना हजार – दीड हजार वर्षे आधीच माहीत होत्या.

उदाहरणच द्यायचं झालं तर ‘पास्कल ट्रँगल’ चं देता येईल. हा ‘पास्कल त्रिकोण’ म्हणजे एका मोठ्या विशिष्ट त्रिकोणात असलेल्या कप्प्यांची रचना आहे. या त्रिकोणामध्ये शीर्ष स्थानी १ ने सुरुवात होते नंतर त्रिकोणाच्या दोन्ही बाजूंना १ हा आकडा शेवटपर्यंत येतो. मधली प्रत्येक संख्या ही त्याच्यावर असलेल्या दोन संख्यांची बेरीज असते.

या त्रिकोणात असलेल्या संख्यांच्या विशिष्ट रचनेमुळे आणि त्यांच्या बेरजेतून होणाऱ्या गमतीमुळे, पास्कल त्रिकोण ही गणितातील एक गूढ रचना समजली जाते. जगभरातील गणिताच्या पुस्तकांमध्ये याच्या जनकाचं नाव ‘ब्लेझ पास्कल’ (१९ जून १६२३ – १९ ऑगस्ट १६६२) असं दिलेलं आहे. हा फ्रेंच गणितज्ञ, शास्त्रज्ञ आणि दार्शनिक होता.

मात्र काही पुस्तकांमध्ये, पास्कल त्रिकोण शोधण्याचं श्रेय, अरबी गणितज्ञ ‘अबू बेकर इब्न मोहम्मद इब्न अल् हुसेन अल् काराजी’ याला दिलं जातं. हा साधारण दहाव्या – अकराव्या शतकातला अरबी गणितज्ञ आहे.

आपलं दुर्दैव असं की या सर्व शोधांच्या किमान हजार – बाराशे वर्षे आधी, ऋषी पिंगल यांनी त्यांच्या ‘छंदशास्त्र’ या ग्रंथात, या ‘जादुई त्रिकोणाचा’ उल्लेख केला आहे. हे पिंगल ऋषी, प्रसिद्ध व्याकरणकार पाणीनी यांचे लहान बंधू होते. यांचा कार्यकाळ हा ख्रिस्त पूर्व ३०० ते २०० वर्षांचा आहे. अर्थात आजपासून किमान बावीसशे- तेवीसशे वर्षांपूर्वी, एका भारतीय गणितज्ञाने, पिंगल ऋषींनी, हा गणिताच्या विविध शाखांना उपयोगी पडणारा, त्रिकोण तयार केला.

आपण असे कपाळकरंटे, की सव्वा दोन हजार वर्षांची आपली ज्ञान परंपरा विसरून जाऊन, या त्रिकोणाला, ‘पास्कल ट्रँगल’ म्हणत, डोक्यावर घेत नाचलो..!

पिंगल ऋषींनी ‘मेरू प्रस्तर’ नावाने हा त्रिकोण तयार केला. पुढे अनेक प्रकारच्या गणितात, अनेक मोठमोठ्या मंदिरांच्या, राजवाड्यांच्या, नगरांच्या रचनेत याचा उपयोग झाला. जगातले सर्वात मोठे प्रार्थना स्थळ असलेले कंबोडियातील ‘अंगकोर वाट मंदिर’ हे या मेरू प्रस्तराच्या संकल्पनेवरच आधारलेले आहे.

पिंगल ऋषींनी त्यांच्या ‘छंदशास्त्र’ या पुस्तकात चक्क ‘बायनरी सिस्टम’ ची ओळख करून दिली आहे. ० आणि १, अर्थात लघु आणि गुरु. मात्र इथे १ हा लघु आहे तर ० हा गुरु. या आधारावर पिंगल ऋषींनी अगदी ‘बायनरी टू न्यूमरिकल डिजिट’ अशी जी आपण रचना करतो, तशीच रचना करून अक्षरं तयार केली आहेत.

कल्पना करा, पाश्चिमात्य जगाला ही बायनरी ची कल्पना कळली, सन १६८९ मध्ये. गाटफ्रेड लिबनीझ ने या बायनरी आकड्यांची संकल्पना मांडली आणि पुढे त्याच्यावरून संपूर्ण कम्प्युटर प्रणाली / डिजिटल प्रणाली तयार झाली.

पण सुमारे तेवीसशे वर्षांपूर्वी आपल्या देशातल्या पिंगल ऋषींनी ही अशीच बायनरी पद्धत वापरली, ती आपण विसरून गेलो..!

प्राचीन काळात, आपल्या देशाला अत्यंत बुद्धिमान गणितज्ञांची महान परंपरा लाभली. आर्यभट्ट सारखे गणितज्ञ चौथ्या शतकात होऊन गेले. सातव्या शतकात भास्कराचार्य. सातव्या शतकातच ब्रह्मगुप्त. नवव्या शतकात महावीर. आर्यभट्ट (द्वितीय) हे दहाव्या शतकात. दहाव्या शतकातच श्रीपती. अकराव्या शतकात श्रीधर. भास्कराचार्य (द्वितीय) हे बाराव्या शतकात….. हे महत्त्वाचे गणितज्ञ. यांच्याशिवाय गणितात भर घालणारे, आधीच्या सूत्रांवर भाष्य करून, भाष्य लिहून त्यात सुधारणा करणारेही बरेच होऊन गेले.

अर्थात इस्लामी आक्रांता भारतात आल्यानंतर हा ओघ आटला. मोठमोठी विद्यापीठं नष्ट केल्या गेली. फक्त गणितातलंच नाही, तर विद्येच्या सर्व शाखांमधलं संशोधन थांबलं. खुंटलं. पण त्याही परिस्थितीत काही तुरळक गणितज्ञ आपली साधना करतच होते.

वर्ग, वर्गमूळ, घनमूळ, वृत्ताचं / त्रिकोणाचं / चौकोनाचं क्षेत्रफळ, गोलाकृती रचनेचं / सिलेंडरिकल वस्तूचं आकारमान, पिरॅमिडची रचना, त्याचं आकारमान, गणितीय / भूमितीय श्रेणी… या साऱ्या गोष्टी आजपासून दीड-दोन हजार वर्षांपूर्वी आपल्या पूर्वजांना येतच होत्या. पण याशिवाय अत्यंत जटील – कठीण असे भूमितीचे प्रमेय, त्रिकोणामितीची सूत्रं यासारख्या गोष्टी सुद्धा आपल्या पूर्वजांना चांगल्या येत होत्या. पश्चिम जगताचा विचार केला तर आपण काळाच्या खूपच पुढे होतो.

चौथ्या शतकात आर्यभटांनी ‘आर्यभटीय’ हा ग्रंथ लिहिला. त्यात त्यांनी ‘पाय’ π ची किंमत ही चार अंकांपर्यंत दिली आहे –

चतुराधिकं शतमष्टगुणम् द्वाषष्टिस्तथा सहस्त्राणाम I

अयुतद्वय विष्कम्भस्यासन्नो वृत्तपरिणाह: II

अर्थात १०० अधिक ४ (१०४) याला ८ ने गुणून त्यात ६२००० मिळवले तर एका वर्तुळाचा परिघ होतो, ज्याची त्रिज्या २०००० आहे

परीघ c = [(१००+४)×८] + ६२०००

= ६२,८३२

वर्तुळाचा व्यास d = २००००

वर्तुळाचा परीघ = २π x त्रिज्या

अर्थात π = परीघ / २ त्रिज्या (अर्थात व्यास)

= ६२८३२ / २००००

= ३.१४१६

ही π ची ‘जवळपास’ जाणारी (श्लोकामध्ये – ‘आसन्नो’) किंमत आहे.

——— ——

सातव्या शतकातले ब्रह्मगुप्त हे खूप मोठे गणितज्ञ होऊन गेले. त्यांनी अनेक वेगवेगळे प्रमेय, समीकरणे मांडली आणि ती सिद्ध केली. ब्रह्मगुप्तांनी ‘ब्रह्म स्फूट सिद्धांत’ हा ग्रंथ लिहिला (सन् ६२८ मध्ये) आणि यात अनेक क्लिष्ट समीकरणांची उकल केली. याच ग्रंथातील बाराव्या अध्यायात, २८ क्रमांकाचा एक श्लोक आहे –

कर्णाश्रितभुजघातैक्यमुभयथान्योन्य भाजितं गुणयेत् I

योगेन भूजप्रतिभुजवधयो: कर्णों पदे विषमे II

हा ‘चक्रीय चौकोनाचा प्रमेय’ (Cyclic Quadrilateral Theorem) म्हणून प्रसिद्ध आहे. साधारण दहावीच्या वर्गात शिकवला जातो. ‘चक्रीय चौकोनाचे सम्मुख कोन हे परस्परांचे पूरक कोन असतात’ हा तो प्रमेय आहे. दुर्दैवानं हा प्रमेय, W. Snell यांच्या नावाने ओळखला जातो. सन १६१९ मध्ये त्यांनी हा प्रमेय मांडला, असं शिकवलं जातं.

अक्षरशः काना-मात्रेचा फरक नसलेला हा प्रमेय, डब्ल्यू स्नेल यांच्या हजार वर्षांपूर्वी ब्रह्मगुप्तांनी संस्कृत मध्ये मांडला. याचे सर्व पुरावे उपलब्ध आहेत. मात्र आपण असे कपाळकरंटे, की आपल्याला, आपल्या मुलांना, विद्यार्थ्यांना ब्रह्मगुप्त माहीतच नसतो..!

असाच एक ‘परिमेय चतुर्भुज प्रमेय’ (Rational Quadrilaterals Theorem). हा प्रमेय सुद्धा ”यूलर’ (Eular : १७०७ – १७८३) यांच्या खात्यावर जमा आहे.

मात्र, अक्षरशः आणि शब्दशः, हाच प्रमेय, हजार वर्षांपूर्वी ब्रह्मगुप्तांनी त्यांच्या ‘ब्रह्म स्फूट सिद्धांत’ या ग्रंथात बाराव्या अध्यायातील ३८ व्या श्लोकात मांडला आहे –

जात्यद्वय कोटीभुजा: परकर्णगुणा: भुजाश्चतुर्विषमे I

अधिको भूर्मुखंहीनो बाहूद्वितयं भुजावन्यौ II

आणि तरीही आम्ही ‘परिमेय चतुर्भुज प्रमेय’ ला यूलर चा प्रमेय म्हणूनच पिढ्यान्-पिढ्या शिकत राहणार, शिकवत राहणार !

———- ————

पूर्ण जगात, ‘फिबोनाची सिरीज’ किंवा फिबोनाची आकडे प्रसिद्ध आहेत. या फिबोनाच्या मालिकेची गंमत म्हणजे, यात प्रत्येक आकडा हा मागील दोन आकड्यांची बेरीज असतो.

ही मालिका ज्या ‘फिबोनाची’ च्या नावाने ओळखली जाते, तो फिबोनाची हा इटालियन गणितज्ञ होता. सन १२०२ मध्ये त्याने ‘लिबर अबासी’ हे गणिताच्या संदर्भातले पुस्तक लिहिले. त्या पुस्तकात ही फिबोनाची सिरीज होती. आणि येथूनच तो फिबोनाची आणि त्याची ही सिरीज प्रसिद्ध झाली.

मात्र फिबोनाची च्या एक हजार वर्षे आधी, पिंगल ऋषींनी या ‘फिबोनाची सिरीज’ ची रचना, अगदी स्पष्टपणे, ‘छंदशास्त्र’ या पुस्तकात करून ठेवली आहे. गंमत म्हणजे, गणिताशी संबंध नसलेल्या, भरत मुलींच्या ‘नाट्यशास्त्र’ या ग्रंथातही या गणितीय आकड्यांचा आणि श्रेणीचा उल्लेख आहे.

पुढे सन् ८५० मध्ये, महावीराचार्य यांनी, त्यांच्या ‘गणित सारा संग्रह’ या ग्रंथात, या सिरीजचा विस्ताराने उल्लेख केला आहे. या ग्रंथातील सातव्या अध्यायातील १२२ वा श्लोक हा, आज आपण ज्याला फिबोनाची सिरीज म्हणतो, त्याचा संपूर्ण उलगडा करतो –

यद्यक्षेत्रं जातं बिजैस्संस्थाप्य तस्य कर्णेन I

इष्टं कर्णं विभजेल्लाभगुणा: कोटिदो: कर्णा: II

‘भारतीय ज्ञानाचा खजिना – भाग १’ मध्ये ‘श्रीयंत्र’ या विषयावरील लेखात फिबोनाची सिरीज च्या भारतीय मुळाबद्दल विस्ताराने लिहिले आहे. याच श्रेणीच्या आधारावर श्रीयंत्राची रचना झालेली आहे.

अशी अनेक उदाहरणे देता येतील अगदी शेकड्यांनी किंवा कदाचित हजारोंनीही..!

मात्र, तुमच्या – आमच्या कानांवरून, आर्यभट्ट, भास्कराचार्य इतकीच नाव कदाचित गेलेली असतील. पण पिंगल ऋषी, ब्रह्मगुप्त, महावीर, विरहंका, श्रीपती, श्रीधर, गोपाळ, हेमचंद्र शास्त्री यांच्यासारख्या अत्यंत प्रतिभावंत गणितज्ञांची नावंही आपल्याला माहित नाहीत, हे खरोखर आपलं दुर्दैव आहे..!

– प्रशांत पोळ

(पूर्वप्रसिद्धी – ‘एकता’ मासिक. सप्टेंबर, २०२४)